Τρίτη, 26 Οκτωβρίου 2010

Κυβισμός

Ο κυβισμός είναι καλλιτεχνικό ρεύμα της ζωγραφικής και της γλυπτικής, στην Ευρώπη του 20ου αιώνα. Το καλλιτεχνικό κίνημα της μοντέρνας τέχνης που εμφανίστηκε στη Γαλλία το πρώτο μισό του 20ου αιώνα, με κυριότερους εκπροσώπους τους ζωγράφους Πάμπλο Πικάσσο (Pablo Picasso), Ζωρζ Μπράκ (Georges Braque), Χουάν Γκρί (Juan Gris) και Φερνάν Λεζέ (Fernand Leger). Ο όρος κυβισμός χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1908, όταν ο Ανρί Ματίς χαρακτήρισε τον πίνακα του Μπράκ «Σπίτια στο Εστάκ» σύνθεση μικρών κύβων.
Εξ ορισμού ο κυβισμός «Cubisme» παραπέμπει στην περιοχή της γεωμετρίας. Οι κυβιστές ζωγράφοι συλλαμβάνουν τον κόσμο μέσω της γεωμετρικής δομής του αντικειμένου. Απεικονίζουν τις έννοιες και τις ιδέες των πραγμάτων. Διάλεγαν γνώριμα μοτίβα, όπως κιθάρες, μπουκάλια, φρούτα, για να μπορούμε να καταλάβουμε τη σχέση ανάμεσα στα διάφορα μέρη και να συνδέουμε τα διάφορα θραύσματα. Στα έργα τέχνης κυβιστών τα αντικείμενα χωρίζονται, αναλύονται, και συνθέτονται ξανά σε μια αφηρημένη μορφή - αντί οι καλλιτέχνες να αποδίδουν τα αντικείμενα από μια συγκεκριμένη γωνία, τα διαιρούν σε πολλαπλές απόψεις, βλέποντας έτσι ταυτόχρονα πολλές διαφορετικές διαστάσεις ή όψεις των αντικειμένων. Συχνά οι επιφάνειες των όψεων, ή τα πλάνα, τέμνονται σε γωνίες που δεν έχουν κάποιο αναγνωρίσιμο βάθος.
Ο κυβισμός επηρέασε βαθειά τον καλλιτεχνικό κόσμο, κυρίως στις αρχές του 20ου αιώνα και αποτέλεσε τον πρόδρομο μελλοντικών τάσεων όπως ο Φουτουρισμός, ο Κονστρουκτιβισμός και ο Εξπρεσιονισμός.

Παιδικός εγκέφαλος και μαθηματικά

Στο μεγαλύτερο τμήμα του περασμένου αιώνα, εκπαιδευ-τικοί και πολλοί επιστήμονες πίστευαν ότι τα παιδιά δεν μπορούν να μάθουν μαθη-ματικά, πριν από την ηλικία των πέντε χρόνων, ότι ο εγκέφαλός τους απλώς δεν ήταν έτοιμος.   Ωστόσο, πρόσφατες μελέτες έχουν ανατρέψει εκ βάθρων αυτή την άποψη - αυτή και μια σειρά άλλων απόψεων για τη γεωμετρία, την ανάγνωση, τη γλώσσα και τον αυτοέλεγχο στη σχολική αίθουσα. Τα ευρήματα, κυρίως από τον τομέα της γνωστικής νευροψυχολογίας, βοηθούν να αποσαφηνιστεί, πότε ο νεαρός εγκέφαλος είναι σε θέση να συλλάβει βασικές έννοιες.   Σε μια πρόσφατη μελέτη, για παράδειγμα, οι ερευνητές βρήκαν ότι τα περισσότερα παιδιά προσχολικής ηλικίας μπορούσαν να πραγματοποιήσουν υποτυπώδεις διαιρέσεις, μοιράζοντας γλυκά σε δύο ή τρία ζωάκια-παιχνίδια. Σε μια άλλη, οι επιστήμονες βρήκαν ότι η ικανότητα του εγκεφάλου να συνδέει γραμματικούς συνδυασμούς με ήχους μπορεί να μην έχει αναπτυχθεί εντελώς μέχρι την ηλικία των 11 χρόνων - πολύ αργότερα από ό,τι υποθέτουν πολλοί.   Η παραδοσιακή διδασκαλία βασικών ακαδημαϊκών ικανοτήτων δίνει τη θέση της σε προσεγγίσεις που βασίζονται στη γνωστική ψυχολογία.
Όπως έχουν δείξει πρόσφατες έρευνες, υπάρχει ένα ακατέργαστο «αριθμητικό ένστικτο» στην ανατομία του εγκεφάλου και οι άνθρωποι, ακόμη και όσοι δεν έχουν την παραμικρή μαθηματική μόρφωση, έχουν μια γενική αντίληψη των ποσοτήτων.

Δευτέρα, 25 Οκτωβρίου 2010

Tα μαθηματικά του ποδοσφαίρου

Σε μια εποχή, όπου το επαγγελματικό ποδόσφαιρο δεν είναι μόνο ζήτημα ταλέντου, τύχης και πολλών δισεκατομμυρίων, η επιστήμη αναγνωρίζεται ως το πιο χρήσιμο "εργαλείο" για την απόδοση ομάδων και ποδοσφαιριστών.Οι ρίζες του total football βρίσκονται έξω από το ποδόσφαιρο. Η γοητεία του κρύβεται στην αρχιτεκτονική, τη γεωμετρία και στην ιδέα του μεγάλου μαθηματικού Ανρί Πουανκαρέ περί ευμετάβλητου χώρου.

Από την αεροδυναμική της μπάλας, τον ρόλο των παπουτσιών στα φαλτσαριστά σουτ, την ψυχολογία των ποδοσφαιριστών στην διαδικασία των πέναλτι, τις αναλυτικές μετρήσεις και την παρακολούθηση των δεικτών που αφορούν στην εργοφυσιολογία των ποδοσφαιριστών, μέχρι την εξαντλητική μαθηματική ανάλυση των δυνατοτήτων που προσφέρουν τα αγωνιστικά συστήματα, οι προπονητές έχουν αποκτήσει για τις δυνατότητες του παιχνιδιού, μια γνώση που ολοένα διευρύνεται. Μια γνώση στην οποία δεν έχουν πρόσβαση οι δημοσιογράφοι και οι φίλαθλοι και παρ' όλα αυτά κρίνουν με απόλυτο τρόπο, τόσο το παιχνίδι όσο και τους ποδοσφαιριστές.
Τι σχέση έχουν τα μαθηματικά με το ποδόσφαιρο;
"Μια σχέση που θα κάνει τους ανυποψίαστους να εκπλαγούν και τους υποψιασμένους, να σιγουρευτούν"

Ο Τετραγωνισμός του Κύκλου


Ο Τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα αρχαιότερα γεωμετρικά προβλήματα. Η διατύπωση του είναι απλή: Ζητείται η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δοθέντος κύκλου. Το 1882, ο μαθη-ματικός Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν (Ferdinand von Lindemann) απέδειξε το αδύνατο της επί-λυσης του προβλήματος.
Τετραγωνίζω τον κύκλο σημαίνει ότι κατασκευάζω, με γεω-μετρική ή αλγεβρική μέθοδο, ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.
Η δυσκολία του προβλήματος συνίσταται σε δύο περιορισμούς που έθεσαν σε αυτό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Πιο συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μία λύση του προβλήματος, σε αυτήν θα πρέπει: να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης και να μην πραγματοποιείται μετά από άπειρο αριθμό βημάτων.Αποδεικνύεται ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου επιλύεται εύκολα αν άρουμε οποιονδήποτε από αυτούς τους δύο περιορισμούς.
Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου  ήταν ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν ο Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ), ο σοφιστής Αντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ), ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β' μισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. μ.χ) και τον Δεινόστρατο (4ος αι. π.χ).

Σάββατο, 23 Οκτωβρίου 2010

To τελευταίο θεώρημα του Fermat


To τελευταίο θεώρημα του Fermat  είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και αποδεί-χτηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Andrew Wiles και Richard Taylor. Εκφράζεται ως εξής: Είναι αδύνατον να χω-ρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις.
Ο Fermat έγραψε κάποτε μια ανάλυση σχετική με το περίφημο πια «τελευταίο θεώρημα του» κατά τη διάρκεια της ενασχόλησής του με το αρχαίο ελληνικό κείμενο Αριθμητική (Arithmetica) που ήταν γραμμένο από τον Διόφαντο της Αλεξάνδρειας. Το βιβλίο αυτό ανέλυε το θέμα της ύπαρξης ακεραίων λύσεων για την εξίσωση a2+b2=c2 , που είναι ο γνωστός τύπος του Πυθαγόρα για τα ορθογώνια τρίγωνα. Η εξίσωση αυτή έχει άπειρες τριάδες λύσεων , που καλούνται πυθαγόρειες τριάδες. Μια γνωστή σε όλους λύση είναι η a=3, b=4, c=5. Ο Fermat επέκτεινε τον τύπο του Πυθαγόρα ένα βήμα παραπάνω και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις (τριάδες) για μια οικογένεια παρόμοιων εξισώσεων της μορφής an+bn=cn , όπου ακέραιος  μεγαλύτερος του 2. 

Παρά το γεγονός ότι σχετίζεται αρκετά με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο έχει άπειρες λύσεις και εκατοντάδες αποδείξεις, η έξυπνη αυτή παραλλαγή του Φερμά στάθηκε πολύ δυσκολότερο να αποδειχτεί.  Όλα τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον Πιέρ ντε Φερμά αποδείχτηκαν, είτε με δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε.
Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι παρ’όλο που υπάρχουν άπειρες πυθαγόρειες τριάδες, δεν υπάρχει καμία τριάδα Fermat. Παρ’όλ’αυτά ο Fermat πίστευε ότι μπορούσε να υποστηρίξει τον ισχυρισμό του με μια αυστηρή απόδειξη. Στο περιθώριο του βιβλίου Arithmetica ο Fermat έγραψε μια υπο-σημείωση που ταλάνισε γενιές μαθηματικών : «Έχω βρει μια εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρό-τασης , την οποία το περιθώριο αυτού εδώ του βιβλίου είναι πολύ μικρό για να χωρέσει».

Παρασκευή, 22 Οκτωβρίου 2010

Πόκερ και Πιθανότητες


Στο πόκερ λαμβάνουμε υπ’όψιν  μας πολλούς παράγοντες. Υπομονή, παρατηρητικότητα, ψυχραιμία, ψυχολογία και αυτοπειθαρχία είναι ικανότητες σημαντικές που κάνουν τους καλούς παίκτες να ξεχωρίζουν, αρκετά συχνά όμως παρουσιάζονται καταστάσεις όπου όλα τα άλλα αποκτούν δευτερεύουσα σημασία και τον πρώτο λόγο έχει η μαθηματική προσδοκία.


Η μαθηματική προσδοκία ότι αφορά το πόκερ, είναι ο υπολογισμός του ποσού που κατά μέσο όρο θα κερδίσουμε ή θα χάσουμε ανάλογα με τις αποφάσεις που θα πάρουμε. Κάθε παρτίδα στο πόκερ μπορεί να χαρακτηριστεί ως μία πολύπλοκη μαθηματική εξίσωση. Είναι τρομερά σημαντικό για τον παίκτη, να καταλάβει την σημασία που έχει η μαθηματική προσδοκία στις αποφάσεις που θα πάρει στο τραπέζι του πόκερ, γιατί με αυτόν τον τρόπο θα μπορέσει να κάνει αντικειμενικά σωστές επιλογές διορθώνοντας το παιχνίδι του, να αναλύσει παρτίδες που έπαιξε στο παρελθόν και να βελτιώσει κομβικά σημεία και λάθος χειρισμούς.

Κρυπτογράφηση

Η ανάγκη για εμπιστευτικότητα στις ηλεκτρονικές συναλλαγές ικανοποιείται με την κρυπτογράφηση. Ο αποστολέας, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένη μαθηματική συνάρτηση, μετατρέπει το αρχικό κείμενο σε μορφή μη κατανοητή για οποιονδήποτε τρίτο (κρυπτογραφημένο κείμενο). Ο παραλήπτης, έχοντας γνώση του τρόπου κρυπτογράφησης, αποκρυπτογραφεί το κείμενο στην αρχική του μορφή. Το μήνυμα παραμένει εμπιστευτικό, ωσότου αποκρυπτογραφηθεί.





Οι διάφορες μέθοδοι κρυπτογράφησης βασίζονται στη χρήση ενός "κλειδιού", ενός µαθηματικού δηλαδή κώδικα - αλγόριθµου, ο οποίος διασφαλίζει το µη "αναγνώσιμο" από τρίτους, και χρησιµοποιείται στην κρυπτογράφηση και την αποκρυπτογράφηση. Κάθε αλγόριθµος παίρνει την ονοµασία του από τον αριθµό που µεταλλάσσεται και πρέπει να βρεθεί µε μια σειρά μαθηματικών πράξεων.

Αρχικά το κλειδί κρυπτογράφησης ήταν το ίδιο µε το κλειδί αποκρυπτογράφησης, δηλαδή αποστολέας και παραλήπτης χρησιμοποιούσαν το ίδιο συμμετρικό κρυπτογραφικό σύστηµα (symmetric cryptosystem). Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιήθηκε κυρίως σε κλειστά συστήµατα και εφαρµόστηκε τη δεκαετία του '80 για τη μεταφορά τραπεζικών δεδοµένων. Αργότερα η εξέλιξη οδήγησε στη χρησιµοποίηση δύο κλειδιών, ενός ιδιωτικού και ενός δηµόσιου (ασύμμετρο κρυπτογραφικό σύστηµα - asymmetric or public key cryptosystem). Το ιδιωτικό κλειδί (private key) χρησιµοποιείται για το σφράγισµα του ηλεκτρονικού µηνύματος και είναι απόρρητο, ενώ το δηµόσιο κλειδί (public key) αντιστοιχεί στο πρώτο, χρησιµοποιείται για την αποσφράγιση του µηνύματος και δεν είναι απόρρητο. Συνεπώς, το πρώτο κλειδί το γνωρίζει µόνο ο αποστολέας και µόνο µε αυτό µπορεί κανείς να επέµβει στο κείµενο, ενώ το δεύτερο το γνωστοποιεί σε κάθε συναλλασσόµενό του για να µπορεί να αποκρυπτογραφεί/διαβάζει τα µηνύματα του πρώτου.